一些公式

记录一些公式，排列较为混乱，凑合看看吧。

三次方差公式

(a+b)^3=a^3+b^3+3ab^2+3a^2b\\\\ \Downarrow\\\\ a^3+b^3\\\\ =(a+b)^3-3ab(a+b)\\\\ =(a+b)(a^2+b^2+2ab-3ab)\\\\ =(a+b)(a^2+b^2-ab)\\\\ \Downarrow\\\\ a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)

同理可得

a^3-b^3=(a-b)(a^2+b^2+ab)

应用：

x^6+1=(x^2+1)(x^4+1-x^2)

幂函数泰勒级数

(1+x)^\alpha=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{A_\alpha^n}{n!}x^n

幂函数×指数函数不定积分

（a 小于 0 的情况使用伽马函数，a 大于 0 先换元）

\int t^ne^{at}{\rm d}x=e^{at}\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\dfrac{A_n^k}{a^{k+1}}t^{n-k}

\int te^{t}{\rm d}t=e^{t}(t-1)

\int t^2e^t{\rm d}t=e^t(2-2t+t^2)

欧拉方程

\sum\limits_{k=0}^{n}a_kx^ky^{(k)}=f(x)

x^ky^{(k)}=A_D^ky=\prod\limits_{i=0}^{k}(D-i)y=D(D-1)\dots(D-k+1)y

抽样分布定理

\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)

\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)

(n-1)\dfrac{S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)

\dfrac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n}+\dfrac{\sigma_2^2}{m}}}\sim N(0,1)

\dfrac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{S_\omega\sqrt{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}}}\sim t(n+m-2)

S_\omega^2=\dfrac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{n+m-2}

\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n-1,m-1)

\chi^2(n)=\sum\limits_{k=1}^{n}X_k^2

t(n)=\dfrac{X}{\sqrt{Y/n}}

F(n,m)=\dfrac{\chi^2(n)/n}{\chi^2(m)/m}

切比雪夫不等式

P\{|X-EX|\geqslant\varepsilon\}\leqslant\dfrac{DX}{\varepsilon^2}

一阶线性微分方程通解公式

y'+P(x)y=Q(x)

y(x)=e^{-\int P(x){\rm d}x}[\int Q(x)e^{\int P(x){\rm d}x}{\rm d}x+C]

华莱士公式

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx{\rm d}x= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx{\rm d}x= \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\cdot(1\\;if\\;n\\&1\\;else\\;\dfrac{\pi}{2}) $$

高斯公式

\oiint P{\rm d}y{\rm d}z+Q{\rm d}x{\rm d}z+R{\rm d}x{\rm d}y=\iiint (\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}){\rm d}v

散度

\nabla F=\dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 F}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 F}{\partial z^2}

斯托克斯公式

\oint P{\rm d}x+Q{\rm d}y+R{\rm d}z=\iint\bf{rot}\\;\bf{F}{\rm d}S

旋度

\nabla\times F=\left|\begin{matrix}{\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\F_x&F_y&F_z\end{matrix}\right|

斯托克斯公式①

\oint P{\rm d}x+Q{\rm d}y+R{\rm d}z=\iint\left|\begin{matrix}{\rm d}y{\rm d}z&{\rm d}x{\rm d}z&{\rm d}x{\rm d}y\\\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\F_x&F_y&F_z\end{matrix}\right|

斯托克斯公式②

\oint P{\rm d}x+Q{\rm d}y+R{\rm d}z =\iint \left|\begin{matrix}\cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\\\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ F_x&F_y&F_z \end{matrix}\right| {\rm d}S

幂指函数泰勒公式

x^x=e^{x\ln x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(x\ln x)^n}{n!}

一个无穷小

1-\cos^\alpha x=-[(1-\sin^2x)^{\frac{a}{2}}-1]\sim-[-\dfrac{\alpha}{2}\sin^2(x)]\sim\dfrac{\alpha}{2}x^2

搞笑公式

\lim\limits_{n\to0}\dfrac{sinx}{n}=six=6

伽马函数

\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}{\rm d}t,\;x>0

\Gamma(\dfrac12)=\sqrt\pi,\;\Gamma(1)=1

\Gamma(x+1)=x\Gamma(x),\;\Gamma(n+1)=n!

斯特林公式

\lim\limits_{n\to\infty}n!=\sqrt{2\pi n}(\dfrac ne)^n

$\tan^nx$ 积分

\int\tan^nx{\rm d}x=\dfrac{\tan^{n-1}x}{n-1}-\int\tan^{n-2}x{\rm d}x

$\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ 泰勒展开式

首先求导，得到 $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ ，泰勒展开为 $1-\dfrac12x^2+o(x^2)$ ，再积分，得到 $x-\dfrac16x^3+o(x^3)$ ，即

\ln(x+\sqrt{x^2+1})=x-\dfrac16x^3+o(x^3)

自然数和公式

自然数和是初项和公差都为 1 的等差数列

1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}

平方和公式

\sum\limits_{i=1}^{n}i^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

立方和公式

\sum\limits_{i=1}^{n}i^3=(\sum\limits_{i=1}^{n}i)^2=(\dfrac{n(n+1)}{2})^2=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}

1
2
3
4
f1(n)=sum((1:n).^3)
f2(n)=n^2*(n+1)^2/4
a=1:100
@assert all(f1.(a)==f2.(a))