Math

直角、柱、球坐标系转换

常用的坐标系有三类：

  • 直角坐标系（Cartesian）
  • 柱坐标系（Cylindrical）
  • 球坐标系（Spherical）

三者都属于欧氏几何右手坐标系。

定义

用坐标系原点指向坐标系中任意一点的矢量作为该点的位置矢量，简称位矢。

位矢在三类坐标系中表示为

{A⃗=Axa^x+Aya^y+Aza^zA⃗=Ara^r+Aϕa^ϕ+Aza^zA⃗=Ara^r+Aθa^θ+Aϕa^ϕ \left\{ \begin{aligned} \vec{A}=A_x{\hat{a}}_x+A_y{\hat{a}}_y+A_z{\hat{a}}_z\\ \vec{A}=A_r{\hat{a}}_r+A_\phi{\hat{a}}_\phi+A_z{\hat{a}}_z\\ \vec{A}=A_r{\hat{a}}_r+A_\theta{\hat{a}}_\theta+A_\phi{\hat{a}}_\phi \end{aligned} \right.

直角坐标系-柱坐标系

柱坐标和直角坐标之间的转换，其实就是极坐标和平面直角坐标之间的转换，满足下列关系

{x=rcos⁡ϕy=rsin⁡ϕ \left\{\begin{aligned}x=r\cos\phi\\ y=r\sin\phi\end{aligned}\right.

直角坐标系 –> 柱坐标系

变换矩阵

[a^ra^ϕa^z]=[cos⁡ϕsin⁡ϕ0−sin⁡ϕcos⁡ϕ0001][a^xa^ya^z] \left[\begin{matrix}{\hat{a}}_r\\{\hat{a}}_\phi\\{\hat{a}}_z\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\cos{\phi}&\sin{\phi}&0\\-\sin{\phi}&\cos{\phi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{\hat{a}}_x\\{\hat{a}}_y\\{\hat{a}}_z\\\end{matrix}\right]

逆变换矩阵（变换矩阵的转置）

[a^xa^ya^z]=[cos⁡ϕ−sin⁡ϕ0sin⁡ϕcos⁡ϕ0001][a^ra^ϕa^z] \left[\begin{matrix}{\hat{a}}_x\\{\hat{a}}_y\\{\hat{a}}_z\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\cos{\phi}&-\sin{\phi}&0\\\sin{\phi}&\cos{\phi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{\hat{a}}_r\\{\hat{a}}_\phi\\{\hat{a}}_z\\\end{matrix}\right]

柱坐标系-球坐标系

柱坐标系 –> 球坐标系

[a^ra^θa^ϕ]=[sin⁡θ0cos⁡θcos⁡θ0−sin⁡θ010][a^ra^ϕa^z] \left[\begin{matrix}{\hat{a}}_r\\{\hat{a}}_{\theta}\\{\hat{a}}_{\phi}\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\sin{\theta}&0&\cos{\theta}\\\cos{\theta}&0& -\sin{\theta}\\ 0&1&0\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{\hat{a}}_r\\{\hat{a}}_{\phi}\\{\hat{a}}_z\\\end{matrix}\right]

逆变换

[a^ra^ϕa^z]=[sin⁡θcos⁡θ0001cos⁡θ−sin⁡θ0][a^ra^θa^ϕ] \left[\begin{matrix}{\hat a}_r\\{\hat a}_\phi\\{\hat a}_z\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\\\cos\theta&-\sin\theta&0\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{\hat a}_r\\{\hat a}_\theta\\{\hat a}_\phi\\\end{matrix}\right]

球坐标系-直角坐标系

直角坐标系 –> 球坐标系

[a^xa^ya^z]=[cos⁡ϕ−sin⁡ϕ0sin⁡ϕcos⁡ϕ0001][sin⁡θcos⁡θ0001cos⁡θ−sin⁡θ0][a^ra^θa^ϕ]=[sin⁡θcos⁡ϕcos⁡θcos⁡ϕ−sin⁡ϕsin⁡θsin⁡ϕcos⁡θsin⁡ϕcos⁡ϕcos⁡θ−sin⁡θ0][a^ra^θa^ϕ] \begin{aligned}\left[\begin{matrix}{\hat a}_x\\{\hat a}_y\\{\hat a}_z\end{matrix}\right]&=\left[\begin{matrix}\cos\phi&-\sin\phi&0\\\sin\phi&\cos\phi&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\\\cos\theta&-\sin\theta&0\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{\hat a}_r\\{\hat a}_\theta\\{\hat a}_\phi\\\end{matrix}\right]\\&=\left[\begin{matrix}\sin\theta\cos\phi&\cos\theta\cos\phi&-\sin\phi\\\sin\theta\sin\phi&\cos\theta\sin\phi&\cos\phi\\\cos\theta&-\sin\theta&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{\hat a}_r\\{\hat a}_\theta\\{\hat a}_\phi\end{matrix}\right]\end{aligned}

逆变换

[a^ra^θa^ϕ]=[sin⁡θcos⁡ϕsin⁡θsin⁡ϕcos⁡θcos⁡θcos⁡ϕcos⁡θsin⁡ϕ−sin⁡θ−sin⁡ϕcos⁡ϕ0][a^xa^ya^z] \left[\begin{matrix}{\hat a}_r\\{\hat a}_\theta\\{\hat a}_\phi\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\sin\theta\cos\phi&\sin\theta\sin\phi&\cos\theta\\\cos\theta\cos\phi&\cos\theta\sin\phi&-\sin\theta\\-\sin\phi&\cos\phi&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}{\hat a}_x\\{\hat a}_y\\{\hat a}_z\end{matrix}\right]
Formula
Licensed under CC BY-NC-SA 4.0
© 2020 - 2025 Jason Swift's blogs
Built with Hugo
Theme Stack designed by Jimmy