不定积分需要 $+C$，下面都省略了。验证两个不定积分结果是否相等的方法是求导。
| 导数 | 积分 |
|---|---|
| $(x^n)'=nx^{n-1}$ | $\int x^n{\rm d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $(e^x)'=e^x$ | $\int e^x{\rm d}x=e^x$ |
| $(a^x)'=a^x\ln a$ | $\int a^x{\rm d}x=\dfrac{a^x}{\ln a}$ |
| $(\ln x)'=\dfrac1x$ | $\int\ln x{\rm d}x=x\ln x-x$ |
| $(\log_ax)'=\dfrac1{x\ln a}$ | $\int\log_ax{\rm d}x=\dfrac{1}{\ln a}(x\ln x-x)$ |
| $\sin'x=\cos x$ | $\int\sin x{\rm d}x=-\cos x$ |
| $\cos'x=-\sin x$ | $\int\cos x{\rm d}x=\sin x$ |
| $\tan'x=\sec^2x$ | $\int\tan x{\rm d}x=-\ln\lvert\cos x\rvert$ |
| $\cot'x=-\csc^2x$ | $\int\cot x{\rm d}x=\ln\lvert\sin x\rvert$ |
| $\sec'x=\sec x\tan x$ | $\int\sec x{\rm d}x=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert$ |
| $\csc'x=-\csc x\cot x$ | $\int\csc x{\rm d}x=\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert$ |
| $\arcsin'x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | |
| $\arctan'x=\dfrac{1}{1+x^2}$ | |
| $\int\dfrac{1}{x^2-a^2}{\rm d}x=\dfrac{1}{2a}\ln\lvert\dfrac{x-a}{x+a}\rvert$ | |
| $\int\dfrac{1}{x^2+a^2}{\rm d}x=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}$ | |
| $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}{\rm d}x=\arcsin\dfrac{x}{a}$ | |
| $\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}{\rm d}x=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})$ | |
| $\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}{\rm d}x=\ln\lvert x+\sqrt{x^2-a^2}\rvert$ |