计数原理-根据质因数幂积计算因数个数

Thu, 23 Apr 2026 10:03:17 +0800

近来阅读《红楼梦》，常见地支计时如「卯正二刻」，难以与今数字时间对应，思得一方法，将十二地支排列圆周，四正向「子午卯酉」是 0、12、6、18 时，四隅向各二，容易分别了。如 8 时在 6 时后，是卯后之辰时；10 时是巳时；如此等等。

仔细思索地支圆盘，再加天干八卦，正好是二十四向，常用于风水地理。周角 360º 分 24 份，则一份 15º。曾闻 360 是个妙数，能被很多数字整除。容易计算得 24 个因数：

可以看到 360 是除了 7 的所有个位数的公倍数，而且是最小公倍数

$360=1 \times 2 \times 3 \times 2 \times 5 \times 1 \times 2 \times 3$

另可写成质因数幂积形式 $360=2^3 \times 3^2 \times 5$

考虑 360×7=2520 是所有个位数的最小公倍数，它的因数有多少呢？这个很简单，360 的每个因数以及乘 7 得到的数都是 2520 的因数，也就是有 48 个因数。

进一步，360×49 有多少个因数？360×2 有多少个因数？

如果乘数是「新」质数，则因数个数翻倍。如果不是新质数呢？用简单例子 12×2 研究发现，不是新质数并不翻倍。（此处研究使用枚举法发现规律）任意一个数字都能写成质因数幂积的形式，从 1 开始乘一系列质数，得验。

规律总结如下：

任意正整数可以写成质因数幂积形式 $Z_0=\Pi p_i^{x_i}$，再乘任意质数 $p$ 得到新数 $Z_1=p^x \Pi p_j^{x_j}$，则 $Z_0$ 的因数个数为 $\Pi(x_i+1)$，$Z_1$ 的因数个数是 $Z_0$ 的 $1+\dfrac 1x$ 倍。

举例： $6=2 \times 3$ 有 4 个因数， $12=2^2 \times 3$ 有 6 个因数， $24=2^3 \times 3$ 有 8 个因数， $72=2^3 \times 3^2$ 有 12 个因数， $360=2^3 \times 3^2 \times 5$ 有 24 个因数。

再进一步，以抽象代数的角度看待问题，积换和、幂换积，得到新规律： 3 个苹果、2 个梨、1 个桃，分成两份有几种分法？答案是 (3+1)(2+1)(1+1)=24，当然，还要减一。

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